Analista Judiciário - Apoio Especializado - Estatística

Para cada r = 1, 2, 3, þ, o momento de ordem r da variável X, , é tal que = (R$ 5.000) r.

O coeficiente de variação de X é igual a 1.

A variável aleatória Y = e!X segue a distribuição Beta.

P(X > 5.000 | X > 1.000) < P(X > 5.000).

A mediana da distribuição do custo unitário X é inferior a R$ 5.000. A quantidade de clientes atendidos em cada minuto pelos empregados 1 e 2 em um balcão de atendimentos é expressa por T = Y1 + Y2, em que Y1 = quantidade de clientes atendidos (por minuto) pelo empregado 1, e Y2 = quantidade de clientes atendidos (por minuto) pelo empregado 2. Considerando que, nessa situação hipotética, Y1 e Y2 sejam variáveis aleatórias independentes, seguindo uma mesma distribuição Y, cuja função de probabilidade é P(Y = y) = 0,1 × 0,9y, para y = 0, 1, 2, ..., julgue os seguintes itens.

A variância de Y é inferior a 87.

As variáveis aleatórias Y1 e Y2 possuem assimetrias negativas.

Se H = min(Y1, Y2) é o menor entre Y1 e Y2, então, para h = 0, 1, 2, ..., P(H = h) = 0,19 × 0,81h.

Se E[T] = quantidade média de clientes atendidos em cada minuto por esses dois empregados, então E[T] < 17.

A soma T segue uma distribuição binomial negativa. Supondo que Z seja uma distribuição normal padrão, considere as seguintes transformações de variáveis aleatórias: W = 1 ! Z e V = Z 2 ! W 2 + 1. A respeito dessas variáveis aleatórias, julgue os itens a seguir.

A variável aleatória V segue distribuição normal.

A covariância entre W e Z é igual a !1.

A variância da variável aleatória V é igual a 2.

A variável aleatória W segue distribuição normal com variância unitária. Em determinado tribunal, a probabilidade de extinção de um processo judicial com julgamento de mérito é , e a probabilidade de extinção de um processo judicial sem julgamento de mérito é , em que os eventos e são eventos mutuamente excludentes e denotam, respectivamente, os eventos complementares dos eventos A e B. Com referência a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.

.

.

. A respeito do total amostral Tn = X1 + X2 + ... + Xn, em que X1, X2, ..., Xn é uma amostra aleatória simples retirada de uma distribuição gama com média µ e desvio padrão σ, julgue os próximos itens.

O valor esperado do total amostral Tn é igual a µ.

O total amostral Tn segue distribuição gama com desvio padrão n × σ.

Se n, o tamanho da amostra, aumenta, então a razão converge quase certamente a uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade. Em um tribunal, entre os processos que aguardam julgamento, foi selecionada aleatoriamente uma amostra contendo 30 processos. Para cada processo da amostra que estivesse há mais de 5 anos aguardando julgamento, foi atribuído o valor 1; para cada um dos outros, foi atribuído o valor 0. Os dados da amostra são os seguintes: 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 A proporção populacional de processos que aguardam julgamento há mais de 5 anos foi denotada por p; a proporção amostral de processos que aguardam julgamento há mais de 5 anos foi representada por . Com referência a essas informações, julgue os itens a seguir, considerando que, para a distribuição normal padrão Z, P(Z > 1,28) = 0,10; P(Z > 1,645) = 0,05; e P(Z > 1,96) = 0,025.

O teste t de Student seria apropriado para testar se, nesse tribunal, p é maior que 50%, com 29 graus de liberdade.

Em um teste unilateral à direita, cujo objetivo seja testar se metade dos processos levam, em média, mais de 5 anos para serem julgados, o valor crítico de processos aguardando julgamento por mais de 5 anos, na amostra de 30 processos, seria superior a 20 processos, considerando 10% de significância.

O teste não paramétrico de Wilcoxon seria uma alternativa para testar se p é maior que 50%.

A variância da proporção amostral sob a hipótese nula H0: p = 0,5 é menor que 0,1.

Estima-se que, nesse tribunal, p > 60%. ||375_STM_005_01N879001|| CESPE | CEBRASPE – STM – Aplicação: 2018 A tabela a seguir foi usada para verificar se existe alguma relação entre a variável p = quantidade de páginas de um processo e a variável t = tempo necessário para a conclusão desse processo. p t t # 1 ano t > 1 ano p < 50 50 processos 30 processos 50 # p # 100 40 processos 70 processos p > 100 10 processos 100 processos Considerando que denota a distribuição qui-quadrado com j graus de liberdade e que P( > 3,84) = 0,05, P( > 5,99) = 0,05, P( > 7,81) = 0,05, P( > 2,71) = 0,10, P( > 4,60) = 0,10, P( > 6,25) = 0,10, julgue os itens que se seguem, tendo como referência as informações na tabela.

O teste não paramétrico de Friedman pode ser aplicado nos dados com 298 graus de liberdade.

Caso fossem aplicados o teste exato de Fisher e o teste qui-quadrado convencional, as conclusões seriam diferentes devido ao fato de o teste exato de Fisher ser exato e o teste qui-quadrado ser aproximado.

A amostra utilizada para o estudo contém mais de 290 processos.

Se for utilizado o teste qui-quadrado para verificar se existe associação entre as variáveis referidas, então o grau de liberdade do referido teste será igual a 2.

Se, a partir do teste de independência entre as referidas variáveis, o valor calculado da estatística qui-quadrado for superior a 60, então será correto concluir com 95% de confiança que existe associação entre essas variáveis. Diversos processos buscam reparação financeira por danos morais. A tabela seguinte mostra os valores, em reais, buscados em 10 processos — numerados de 1 a 10 — de reparação por danos morais, selecionados aleatoriamente em um tribunal. processo valor 1 3.700 2 3.200 3 2.500 4 2.100 5 3.000 6 5.200 7 5.000 8 4.000 9 3.200 10 3.100 A partir dessas informações e sabendo que os dados seguem uma distribuição normal, julgue os itens subsequentes.

Se µ = estimativa pontual para a média dos valores buscados como reparação por danos morais no referido tribunal, então 3.000 < µ < 3.300.

Uma forma de verificar a normalidade dos dados seria pelo teste de Kolmogorov-Smirnov, calculando-se o valor crítico, para n pequeno (n < 10), pela aproximação , em que α é o nível de significância do teste.

Caso seja de interesse testar, por exemplo, se a média dos valores é diferente de 3.500, para calcular o p-valor do teste no referido estudo é suficiente multiplicar a por 2, em que é a média amostral.

Nessa situação, se for possível usar o teste t de Student, então esse teste teria 9 graus de liberdade.

Na situação em questão, em que os dados seguem uma distribuição normal, o teste não paramétrico de Wilcoxon é menos poderoso que o teste t de Student. Considerando que seja uma variável resposta ajustada por um modelo de regressão em função de uma variável explicativa X, que x1, þ ,xn representem as réplicas de X e que e sejam as estimativas dos parâmetros do modelo, julgue os itens a seguir.

No método de mínimos quadrados, a condição de estimativas não viesadas significa que os erros terão variância positiva.

Um modelo na forma , em que e , apesar de ser exponencial em sua estrutura original, é linearizável, podendo ser tratado pelos métodos de regressão linear.

Em um modelo linear , com coeficientes obtidos pelo método dos mínimos quadrados ordinários, sendo , a média dos valores estimados de Y é igual à média dos valores de X multiplicados por .

Em um modelo linear , a hipótese de homoscedastiscidade significa que a variância dos erros deve ser constante, e o valor esperado dos erros deve ser zero.

No modelo linear Y = α + βX + e, considere que para cada valor de X corresponda um erro ei, que é uma variável aleatória. Nessa situação, a hipótese de erros não autocorrelacionados implica que cov(ei, ej) = 0 para i … j. Em um modelo de regressão linear simples na forma yi = a + bxi + εi, em que a e b são constantes reais não nulas, yi representa a resposta da i-ésima observação a um estímulo xi e εi é o erro aleatório correspondente, para i = 1, þ, n, considere que , em que , e que o desvio padrão de cada εi seja igual a 10, para i = 1, þ, n. A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.

A heteroscedasticidade é um problema que surge quando o valor esperado dos erros não é zero.

Se representar o estimador de mínimos quadrados ordinários do coeficiente b, então . ||375_STM_005_01N879001|| CESPE | CEBRASPE – STM – Aplicação: 2018 A equação seguinte foi obtida de um modelo de regressão linear múltipla ajustado sobre 12 amostras, em que cada valor entre parênteses abaixo do coeficiente representa o erro-padrão desse coeficiente, e representa o erro, D é uma variável dummy que assume o valor 0 caso não ocorra determinado evento e 1 caso ocorra, e e são duas variáveis regressoras. A tabela de análise de variância (ANOVA) proporcionada pelo referido modelo é apresentada a seguir. fonte de variação soma de quadrados graus de liberdade quadrados médios teste F modelo 2.000.000 a c erro 16.000 8 2.000 total 11 d Com base nas informações e na tabela apresentadas, julgue os próximos itens.

Dado o valor crítico da estatística t de Student para 8 graus de liberdade a 5% de significância, t8;5% = 2,3, rejeita-se a hipótese de que cada um dos coeficientes da regressão seja nulo.

O valor de a reflete a quantidade de variáveis explicativas, e deve ser igual a 3.

A soma dos quadrados totais é igual a 2.016.000.

Fixando-se determinado ponto ( , ), a ocorrência do evento representado por D faz que a estimativa de Y diminua em mais de 80 unidades.

O coeficiente de determinação ajustado dessa regressão, , é maior que o coeficiente de determinação R2. Considerando um modelo de regressão linear com erros heteroscedásticos, julgue os itens seguintes.

Para corrigir a heteroscedasticidade, como regra geral, é suficiente fazer a regressão da variável dependente em função das raízes quadradas das variáveis independentes.

Para um modelo de regressão linear na forma Y = α + βX + e, em que Y representa a variável resposta, X é a variável regressora, e e denota o erro aleatório, o teste de Goldfeld–Quandt consiste em fazer duas regressões: uma com os maiores valores de X e outra com os menores valores de X, e verificar se as variâncias são distintas.

Para um modelo de regressão linear múltiplo, o teste de White permite detectar a heteroscedasticidade a partir da regressão de cada erro estimado da regressão original com as variáveis explicativas e seus inversos. A respeito da autocorrelação dos erros de um modelo de regressão linear, julgue os itens subsequentes.

A autocorrelação dos erros, desde que não seja unitária em termos absolutos, insere um viés nas estimativas da variável dependente.

O teste de Durbin–Watson é um teste que permite identificar a autocorrelação serial de primeira ordem.

Como regra geral, a presença de autocorrelação dos erros é um problema que não pode ser corrigido, de modo que a modelagem por regressão deve ser abandonada quando detectado esse problema.

Ocorre autocorrelação dos erros caso os erros da regressão sigam um processo autorregressivo de ordem 1, ou seja, um AR(1).

Na presença de autocorrelação de erros, o estimador mais eficiente da regressão por mínimos quadrados ordinários continua sendo BLUE (best linear unbiased estimator), ou seja, melhor estimador linear não viesado. Para um estudo sobre a gestão de riscos jurídicos em determinado tribunal, um analista efetuará simulações de Monte Carlo com base em realizações de variáveis aleatórias contínuas Y (exponencial, com média m), U (uniforme no intervalo [0,1]) e Q (qui-quadrado, com k graus de liberdade). Considerando que Y, U e Q sejam mutuamente independentes, julgue os próximos itens.

Suponha que Y1, Y2, þ, Yn sejam n realizações independentes retiradas de uma distribuição exponencial com média m. Nessa situação, a média representa uma estimativa da integral .

O produto segue uma distribuição normal com média nula.

Realizações G de uma distribuição gama com média 2m podem ser obtidas com base na transformação G = Y ! m × ln(U).

A transformação proporciona uma realização da distribuição normal padrão.

Caso W seja uma realização retirada de uma distribuição normal com média nula e variância k, será correto afirmar que o produto é realização de uma distribuição t de Student com k graus de liberdade. Uma amostra aleatória simples Y1, Y2, ..., Yn, retirada de uma população Bernoulli, é tal que , para y = 0 ou 1, 0 < θ < 1 e k = 1, 2, ..., n. O objetivo é efetuar inferências acerca do parâmetro θ mediante aplicação de métodos computacionais. Considerando que para r $ 0, represente a estimativa de θ obtida na r-ésima iteração de um algoritmo de estimação, julgue os seguintes itens. 111 O método de Monte Carlo via cadeia de Markov (MCMC) pertence à classe de algoritmos de estimação não sequencial, em que forma um conjunto de valores mutuamente independentes. Excluindo-se o valor inicial , uma estimativa do parâmetro θ é dada por , na qual q representa um valor suficientemente grande. ||375_STM_005_01N879001|| CESPE | CEBRASPE – STM – Aplicação: 2018 112 No algoritmo de Metropolis-Hastings tem-se a forma iterativa , na qual ƒ representa a função de densidade a priori de θ, e 0r > 0 representa um incremento aleatório. Nesse algoritmo, a probabilidade de aceitação do valor proposto como uma estimativa viável para o parâmetro de interesse é constante. 113 O amostrador de Gibbs, um algoritmo sequencial de Monte Carlo, permite simular a distribuição a priori do parâmetro θ, desde que a forma funcional da sua função de densidade, ƒ(θ), seja conhecida. 114 O método HPD (high probability density) é um algoritmo que proporciona um intervalo de confiança clássico (frequentista) para o parâmetro θ. Um estudo acerca do tempo (x, em anos) de guarda de autos findos em determinada seção judiciária considerou uma amostragem aleatória estratificada. A população consiste de uma listagem de autos findos, que foi segmentada em quatro estratos, segundo a classe de cada processo (as classes foram estabelecidas por resolução de autoridade judiciária). A tabela a seguir mostra os tamanhos populacionais (N) e amostrais (n), a média amostral e a variância amostral dos tempos (s2) correspondentes a cada estrato. estratos tamanhos populacionais (N) tamanhos amostrais (n) s 2 A 30.000 300 20 3 B 40.000 400 15 16 C 50.000 500 10 5 D 80.000 800 5 8 total 200.000 2.000 – – Considerando que o objetivo do estudo seja estimar o tempo médio populacional (em anos) de guarda dos autos findos, julgue os itens a seguir. 115 No estudo em questão foi aplicada uma amostragem aleatória estratificada com alocação proporcional ao tamanho dos estratos. 116 A fração amostral utilizada no estudo em tela foi igual ou superior a 10%. 117 A estimativa do tempo médio populacional da guarda dos autos findos é maior ou igual a 12 anos. 118 O erro padrão referente à estimação do tempo médio x no estrato D foi menor ou igual a 0,1. 119 No desenho amostral em tela há duas unidades amostrais: a primeira (unidade primária) corresponde à classe de cada processo, e a segunda (unidade secundária) refere-se a auto findo presente na listagem. 120 Combinando-se todos os estratos envolvidos, a estimativa da variância do tempo médio amostral da guarda dos autos findos é inferior a 0,005 ano2. Espaço livre